Solución de un límite, usando Combinatoria y Aproximación de Stirling.

    \[\lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt[n(n+1)]{1!2!3!\cdots n!}}{\sqrt{n}}\]

Demostración de que cero elevado a la cero es igual a uno.

En este artículo se demuestra desde una postura conjuntista que el numero natural 0 elevado a la cero es igual a uno (0^0=1); además se hace una reflexión y argumentación de que el valor 0^0=1 puede funcionar perfectamente en la mayoría de las ramas de la matemática sin que esto conlleve una contradicción o indeterminación.

Enlace al artículo \implies cero0

El numero E (e) y algunas características

En este artículo se hace una exposición de la definición, irracionalidad y trascendencia del numero e tomando como base varios textos del análisis matemático como el Rudin.

Enlace al artículo numeroE

Método alternativo para resolver una ecuación Cuadrática

El siguiente método para resolver ecuaciones cuadráticas fue recientemente descubierto por Po-Shen Loh, profesor y entrenador del equipo de Olimpiadas Matemáticas de Estados Unidos. (https://www.poshenloh.com/quadratic/)

Teorema: Dada la ecuación ax^2+bx+c=0, con raíces r_1,r_2\in \mathbb{C}, existe u\in\mathbb{C} tal que se cumplen las siguientes condiciones de forma simultanea:

  • \frac{-b}{2a}+u=r_1
  • \frac{-b}{2a}-u=r_2
  • \left(\frac{-b}{2a}\right)^2-u^2=\frac{c}{a}

Ejemplo 1.Resolver la ecuación x^2-x-6=0, por el teorema anterior se tiene que:

    \begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}\right)^2-u^2 &=& -6 \\ -u^2&=&-6-\frac{1}{4}  \\ -u^2&=& -\frac{25}{4} \\ u&=&\pm\sqrt{\frac{25}{4}}  \\ u&=&\pm\frac{5}{2} \end{eqnarray*}

Entonces r_1=\frac{-b}{2a}+u=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3, y r_2=\frac{-b}{2a}-u=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2

Ejemplo 2.Resolver la ecuación x^2+6x-91=0, por el teorema anterior se tiene que:

    \begin{eqnarray*} \left(-3\right)^2-u^2 &=& -91 \\ -u^2&=&-91-9  \\ -u^2&=& -100 \\ u&=&\pm\sqrt{100}  \\ u&=&\pm10 \end{eqnarray*}

Entonces r_1=\frac{-b}{2a}+u=-3+10=7, y r_2=\frac{-b}{2a}-u=-3-10=-13

Ejemplo 3.Resolver la ecuación 12x^2-4x-5=0, por el teorema anterior se tiene que:

    \begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{6}\right)^2-u^2 &=& -\frac{5}{12} \\ -u^2&=&-\frac{5}{12}-\frac{1}{36}  \\ -u^2&=& -\frac{4}{9} \\ u&=&\pm\sqrt{\frac{4}{9}}  \\ u&=&\pm\frac{2}{3} \end{eqnarray*}

Entonces r_1=\frac{-b}{2a}+u=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}, y r_2=\frac{-b}{2a}-u=\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}

Ejemplo 4.Resolver la ecuación x^2-2x-1=0, por el teorema anterior se tiene que:

    \begin{eqnarray*} \left(1\right)^2-u^2 &=& -1 \\ -u^2&=&-1-1  \\ -u^2&=& -2 \\ u&=&\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}

Entonces r_1=\frac{-b}{2a}+u=1+\sqrt{2}, y r_2=\frac{-b}{2a}-u=1-\sqrt{2}

Demostración del Teorema: Dada la ecuación de la forma ax^2+bx+c=0, por el teorema del factor existen r_1 y r_2 tales que:

    \[ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)\]

de lo anterior se tiene que r_1+r_2=\frac{-b}{a}, y r_1\cdot r_2=\frac{c}{a}

Por otro lado se tiene que:

    \begin{eqnarray*} \frac{r_1+r_2}{2} +\frac{r_1-r_2}{2}&=& r_1 \\ \frac{r_1+r_2}{2} -\frac{r_1-r_2}{2}&=&r_2 \end{eqnarray*}

Haciendo u=\frac{r_1-r_2}{2}, y r_1+r_2=\frac{-b}{a}

    \begin{eqnarray*} \frac{-b}{2a} +u &=& r_1 \\ \frac{-b}{2a} -u&=&r_2 \end{eqnarray*}

Multiplicando miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores, se tiene que:

    \begin{eqnarray*} \left(\frac{-b}{2a}\right)^2-u^2 &=& r_1\cdot r_2 \\ \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 -u^2&=\frac{c}{a} \end{eqnarray*}